真子集

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如果集合A集合B子集,并且集合B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B真子集(proper subset)。
中文名
真子集
外文名
proper subset
别 称
真包含
表达式
A?B
应用学科
数学
适用领域范围
集合

定义 编辑

子集

一般地,对于两个集合AB,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集(subset)。记作A?B(或B?A),读作“A包含于B”(或“B包含A”)。[1]
即,对于集合AB,?xAxB,则A?B[1] 可知任一集合A是自身的子集,空集是任一集合的子集。[2] [3]

真子集

如果集合A?B,存在元素xB,且元素x不属于集合A,我们称集合A与集合B真包含关系,集合A是集合B真子集(proper subset)。记作A?B(或B?A),读作“A包含于B”(或“B包含A”)。
即:对于集合AB,?xAxB,且?xBx?A,则A?B。空集是任何非空集合的真子集。
非空真子集如果集合A?B,且集合B≠?,集合A是集合B的非空真子集(nonvoid proper subset)。[2]
真子集与子集的区别:
  • 子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素,有可能与另一个集合相等;
  • 真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素,但不存在相等[1]

举例

  • 所有亚洲国家组成的集合是地球上所有国家组成的集合的真子集;所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集(即N?Z);{1, 3} ? {1, 2, 3, 4},{1, 2, 3} ? {1, 2, 3, 4}; ??{?}。但不能说{1, 2, 3}? {1, 2, 3}。[2]
  • 设全集I为{1, 2, 3},则它的子集可以是{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、{1, 2, 3}、?;而它的真子集只能为{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3西安狼爵会}、{2, 3}、?。它的非空真子集只能为{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}。[1]

有关命题 编辑

西安狼爵会命题1:若集合An个元素,则集合A子集个数为2n,且有2n-1个真子集,2n-2个非空真子集。[1]
证明:设元素编号为1, 2, ... n,每个子集对应一个长度为n二进制数(规定数的第 i 位为1表示元素i在集合中,0表示元素i 不在集合中。如全集U={e1, e2, e3, e4, e5},则{e1,e2,e3,e4,e5} ? 11111,{e2,e3,e4} ? 01110,{e4} ? 00010)。即其子集为00...0(n个0) ~ 11...1(n个1)。易知一共有2n个数,因此对应2n个子集。去掉11...1(即表示原来的集合A)则有2n-1个真子集,再去掉00...0(表示空集)则有2n-2个非空真子集。[4]
命题2空集是任意集合的子集。
证明:给定任意集合A,要证明?是A 的子集。这要求给出所有?的元素是A 的元素;但是,?没有元素。
对有经验的数学家们来说,推论 “?没有元素,所以?的所有元素是A 的元素”是显然的;但对初学者来说,有些麻烦。 换一种思维将有所帮助,为了证明?不是A 的子集,必须找到一个元素,属于?,但不属于A。因为?没有元素,所以这是不可能的。因此?一定是A 的子集。
这个命题说明:包含是一种偏序关系[4]
命题3:若 ABC是集合,则:
自反性: A?A,反对称性: A? BB? A当且仅当A= B传递性: 若 A? BB? CA? C。这个命题说明:对任意集合 SS幂集按包含排序是一个有界格,与上述命题相结合,则它是一个布尔代数
命题4:若 ABC是集合 S的子集,则:[4]
存在一个最小元和一个最大元: ? ? A? S( ??A由命题2给出)。存在并运算: A? ABA? CB? CAB? C存在交运算: AB? AC? AC? BC? AB。这个命题说明:表述 "A? B" 和其他使用并集交集补集的表述是等价的,即包含关系在公理体系中是多余的。[3]
命题5: 对任意两个集合 AB,下列表述等价:A? B AB= A AB= B A? B= B′ ? A′。[2]
参考资料
  • 1. 曲一线等.五年高考三年模拟 数学必修一.北京:首都师范大学出版社,2014
  • 2. 人民教育出版社.数学 必修一.北京:人民教育出版社,2014
  • 3. 吕保献.初等数学.北京:北京大学出版社,2016
  • 4. Fleix Klein.高观点下的初等数学.上海:复旦大学出版社,2010
词条标签:
自然学科 科技 理学 数学